已知如图所示已知如图所示,抛物线y=ax2+bx+c过点A(-3,0),B(1,0),C(0,√3),此抛物线的顶点为D

已知如图所示已知如图所示,抛物线y=ax2+bx+c过点A(-3,0),B(1,0),C(0,√3),此抛物线的顶点为D

答：（1）A(-3,0),B(1,0),C(0,√3)三点代入抛物线方程得：9a-3b+c=0a+b+c=0c=√3解得：a=-√3/3，b=-2√3/3抛物线方程为：y=-√3（x^2+2x-3)/3（2）①AB的中点为(-1,0)，在抛物线的对称轴x=-1上，依题意：△ABC绕AB的中点M旋转180°，得到四边形AEBC，即△ABC和△BAE上对应的点关于点（-1,0）对称。所以点E的坐标为（-1*2-0=-2,0*2-√3=-√3），即点E（-2，-√3）。②AC的斜率为k1=（√3-0）/(0+3)=√3/3BC的斜率为k2=（√3-0）/(0-1)=-√3k1*k2=-1所以：AC⊥BC同理AE的斜率为K2=-√3，BE的斜率为k1=√3/3所以AE//BC，AC//BE所以四边形AEBC是矩形。（3）点A(-3,0)，点D的坐标为（-1,4√3/3)。BC直线为：y-0=-√3(x-1)，即：y=-√3x+√3。设点P为（p,-√3p+√3)AD=2√21/3AP=√[(p+3)^2+3(p-1)^2]=2√(p^2+3)DP=√[(p+1)^2+3(p+1/3)^2]=2√(p^2+p+1/3)△PAD的周长L(p）=AD+AP+DP=2√21/3+ 2√(p^2+3)+ 2√(p^2+p+1/3)L'(p)=2p/√(p^2+3)+(2p+1)/√(p^2+p+1/3) 当L'(p)=0时，即：L'(p)=2p/√(p^2+3)+(2p+1)/√(p^2+p+1/3) =0解得：p=-3/7或p=-3/5，由于p=-3/5时P、D、A三点成一直线，无法构成三角形，故需舍去。所以点P为（-3/7,10√3/7）.