热传导方程式的扩散方程

热传导方程式的扩散方程

在粒子扩散的模性中，我们考虑的方程涉及

在大量粒子集体扩散的情况：粒子的体积浓度，记作c。 或者

在单一粒子的情况：单一粒子对位置的机率密度函数，记作P。 不同情况下的方程式：

或者

c与P都是位置与时间的函数。D是扩散系数，它控制扩散速度，通常以米/秒为单位。

如果扩散系数D依赖于浓度c（或第二种情况下的机率密度P），则我们得到非线性扩散方程。

单一粒子在粒子扩散方程下的随机轨迹是个布朗运动。

如果一个粒子在时间t= 0 时置于 ，则相应的机率密度函数具有以下形式：

它与机率密度函数的各分量Rx,RyandRz的关系是：

随机变量Rx,Ry,Rz服从平均数为 0、变异数为 的正态分布。在三维的情形，随机向量 服从平均数为 、变异数为 的正态分布。

在t=0时，上述 的表示式带有奇点。对应于粒子处在原点之初始条件，其机率密度函数是在原点的狄拉克δ函数，记为 （三维的推广是 ）；扩散方程对此初始值的解也称作格林函数。

格林函数是扩散方程在粒子位置已知时的解（数学家称之为扩散方程的基本解）。当粒子初始位置在原点 时，相应的格林函数记作 （t>0）；根据扩散方程对平移的对称性，对一般的已知初始位置，相应的格林函数是 。

对于一般的初始条件，扩散方程的解可以透过积分分解为一族格林函数的叠加。

举例来说，设t=0时有一大群粒子，根据浓度分布的初始值 分布于空间中。扩散方程的解将告诉我们浓度分布如何随时间演化。

跟任何（广义）函数一样，浓度分布的初始值可以透过积分表为狄拉克δ函数的叠加：

扩散方程是线性的，因此在之后的任一时刻t，浓度分布变为：

在粒子扩散的情形，我们可以将狄拉克δ函数对应的初始条件理解为粒子落在一个已知位置。一般而言，任何扩散过程的解都有这种表法，包括热传导或动量的扩散；后者关系到流体的黏性现象。

一维格林函数解列表以下以简写 BC 代表边界条件，IC 代表初始条件。

<IMG class=tex alt=\begin{cases} u_{t}=ku_{xx} & -\infty<x<\infty,\,0<t

<IMG class=tex alt=\begin{cases} u_{t}=ku_{xx} & \, 0\le x<\infty, \, 0<t