不定积分换元法

不定积分换元法

把复合函数的微分法反过来用于求不定积分，利用中间变量的代换，得到复合函数的积分法，称为换元积分法，简称换元法，换元法通常分为两类：

第一类换元法：

设f(u)具有原函数F(U)，即。

F'(U)=f(u)，∫f(u)du=F(U)+C。

如果u是中间变量,u=φ(x)，且设φ(x)可微，那么，根据复合函数微分法有：

dF(φ(x))=f(φ(x))φ'(x)dx。

从而根据不定积分的定义就得：

∫f[φ(x)]φ'(x)dx=F[φ(x)]+C=[∫f(u)du] (u=φ(x))。

于是有下述定理：

定理1：设f(u)具有原函数，u=φ(x)可导，则有换元公式：

∫f[φ(x)]φ'(x)dx=[∫f(u)du] (u=φ(x)) (1)。

将所求积分∫φ(x)dx表成∫f[φ(x)]φ'(x)dx就是凑微分过程，然后就是换元，也就是将积分变量x换成u；最后是求原函数，实际上就是∫f[φ(x)]φ'(x)dx不好求。

而∫f(u)du好求，所以先求出后一个不定积分；最后再将变量u换成x。当熟练掌握这一方法后，可以不必引入变量u。

由此定理可见，虽然∫f[φ(x)]φ'(x)dx是一个整体的记号，但从形式上看，被积表达式中的dx也可当作变量x的微分来对待，从而微分来对待。

从而微分等式φ'(x)dx=du可以方便地应用到被积表达式中来，我们在上节第一题目中已经这样用了，那里把积分∫F'(x)dx,记作∫dF(x)，就是按微分F'(x)dx=dF(x)，把被积表达式F'(x)dx。记作dF(x)

设要求∫g(x)dx，如果函数g(x)可以化为g(x)=f[φ(x)]φ'(x)的形式，那么：

∫g(x)dx=∫f[φ(x)]φ'(x)dx=[∫f(u)du] (u=φ(x))。

这样，函数g(x)的积分即转化为函数f(u)的积分，如果能求得f(u)的原函数，那么也就得到了g(x)的原函数。

第二类换元法：

上面介绍的第一类换元法是通过变量代换u=φ(x),将积分∫f[φ(x)]φ'(x)dx化为积分∫f(u)du。

下面将介绍的第二类换元法是，适当地选择变量代换x=φ(t),将积分∫f(x)dx化为积分，∫f[φ(t)]φ'(t)dt，这是另一种形式的变量代换，换元公式可表达为：

∫f(x)dx=∫f[φ(t)]φ'(t)dt。

这公式的成立是需要一定条件的，首先，等式右边的不定积分要存在，即∫f[φ(t)]φ'(t)dt有原函数；其次，∫f[φ(t)]φ'(t)dt求出后必须用x=φ(t)的反函数t=φ^(-1)(x)代回去。

为了保证这反函数存在而且是可导的，我们假定直接函数x=φ(t)在t的某一个区间(这区间和所考虑的x的积分区间相对应)上是单调的，可导的，并且φ'(t)=0。

归纳上述，给出下面的定理：

定理2 设x=φ(t)是单调的，可导的函数，并且φ'(t)≠0.又设f[φ(t)]φ'(t)具有原函数，则有换元公式。

∫f(x)dx={∫f[φ(t)]φ'(t)dt} (t=φ^(-1)(x))(2)。

其中φ^(-1)(x)是x=φ(t)的反函数。

注意：与第一类换元积分法相反，第二类换元积分法就是由于积分∫f(x)dx不便计算，而改求∫f[φ(t)]φ'(t)dt。关键是：如何选择变量替换。

扩展资料：

不定积分的4种积分方法：

1、凑微分法：把被积分式凑成某个函数的微分的积分方法。要求：熟练掌握基本积分公式。对于复杂式子可以将其分为两个部分，对复杂部分求导，结果与简单部分比较。

2、换元法：包括整体换元，部分换元。还可分三角函数换元，指数换元，对数换元，倒数换元等等。须灵活运用。注意：dx须求导。

3、分部积分法：利用两个相乘函数的微分公式，将所要求的积分转化为另外较为简单的函数的积分。注意：对u和v要适当选择。

4、有理函数积分法：

有理函数是指由两个多项式函数的商所表示的函数，由多项式的除法可知，假分式总能化为一个多项式与一个真分式之和。

参考资料来源：百度百科-换元积分法